1) Grundlagen der Wahrscheinlichkeit
In der Stochastik untersucht man Zufallsexperimente. Zentrale Begriffe:
- Ergebnis: mögliches Resultat (z. B. „Zahl“ beim Münzwurf).
- Ereignis: Menge von Ergebnissen (z. B. „gerade Zahl“ beim Würfeln).
- Laplace-Experiment: Alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich.
- Wahrscheinlichkeit: \(P(E)=\frac{|E|}{|\Omega|}\).
Beispiel: Würfel: \(\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}\). Ereignis „gerade Zahl“ = {2,4,6}.
Wahrscheinlichkeit \(P=3/6=0,5\).
Wahrscheinlichkeit \(P=3/6=0,5\).
2) Baumdiagramme
Bei mehrstufigen Zufallsexperimenten hilft ein Baumdiagramm.
Zeichne ein Baumdiagramm und bestimme die Wahrscheinlichkeit für „genau 1x Kopf“.
Lösung anzeigen
Baumdiagramm: Erste Stufe Kopf/Zahl (je 0,5), zweite Stufe wieder Kopf/Zahl (je 0,5).
Günstige Ergebnisse: KZ, ZK. Wahrscheinlichkeit: 2/4=0,5.
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Ergebnisraum: 25 Kombinationen. Wahrscheinlichkeit „2x rot“: (3/5)·(3/5)=9/25.
3) Bedingte Wahrscheinlichkeit
\(P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\).
Ein Kartenspiel (52 Karten). A=„Herz“, B=„Bildkarte“. Bestimme P(A|B).
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Anzahl Bildkarten=12, davon 3 Herzen. Also P(A|B)=3/12=0,25.
4) Unabhängigkeit
Zwei Ereignisse sind unabhängig, wenn \(P(A\cap B)=P(A)·P(B)\).
A=„Münze Kopf“, B=„Würfel 6“.
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P(A)=0,5, P(B)=1/6. Produkt=1/12. Ergebnisraum zeigt: Kombi (Kopf,6) tritt in 1 von 12 Fällen auf → 1/12. → unabhängig.
5) Übungsset
Kurze Aufgaben
- Wahrscheinlichkeit beim Würfeln: „Zahl ≥ 5“.
- Zwei Münzwürfe: Wahrscheinlichkeit für „mindestens 1 Kopf“.
- Urne: 2 rote, 1 blaue Kugel, ohne Zurücklegen. Wahrscheinlichkeit „2x rot“.
Lösungen
- 2/6=1/3.
- 1-1/4=3/4.
- P(erste rot)=2/3, P(zweite rot)=1/2. Produkt=1/3.
6) Zusammenfassung
- Laplace: P= günstige/alle.
- Baumdiagramme helfen bei mehrstufigen Experimenten.
- Bedingte Wahrscheinlichkeit: P(A|B).
- Unabhängigkeit: P(A∩B)=P(A)·P(B).