Klasse 11 – 48 Übungsaufgaben

Mit schrittweiser Lösungsbegleitung. Mobile-optimiert & druckbar.

🌈 Einfache Sprache
Aufgabe 1 Kettenregel 💡 Hilfe zu diesem Thema
Bestimme f'(x) für f(x)=(3x−2)^5.
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  1. g(x)=3x−2 ⇒ g'(x)=3
  2. f'(x)=5(3x−2)^4·3=15(3x−2)^4
Aufgabe 2 Produktregel 💡 Hilfe zu diesem Thema
Bestimme f'(x) für f(x)=(2x+1)·(x^2−3).
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  1. u=2x+1 ⇒ u'=2; v=x^2−3 ⇒ v'=2x
  2. f'=u'v+uv' = 2(x^2−3) + (2x+1)(2x) = 2x^2−6 + 4x^2+2x
  3. f'(x)=6x^2+2x−6
Aufgabe 3 Quotientenregel 💡 Hilfe zu diesem Thema
Bestimme f'(x) für f(x)=(x^2+1)/(x−1).
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  1. u=x^2+1 ⇒ u'=2x; v=x−1 ⇒ v'=1
  2. f'=(u'v−uv')/v^2 = (2x(x−1) − (x^2+1)) /(x−1)^2
  3. Zähler: 2x^2−2x−x^2−1 = x^2−2x−1
  4. f'(x)=(x^2−2x−1)/(x−1)^2
Aufgabe 4 Kurvendiskussion – Extrema 💡 Hilfe zu diesem Thema
f(x)=x^3−3x. Finde Extrempunkte.
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  1. f'=3x^2−3=0 ⇒ x=±1
  2. f''=6x ⇒ f''(−1)=−6<0 (lok. Max), f''(1)=6>0 (lok. Min)
  3. Punkte: (−1|2), (1|−2)
Aufgabe 5 Kurvendiskussion – Wendepunkt 💡 Hilfe zu diesem Thema
f(x)=x^3−6x. Bestimme Wendestellen.
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  1. f''(x)=6x ⇒ f''=0 bei x=0
  2. Vorzeichenwechsel der Krümmung ⇒ Wendepunkt (0|0)
Aufgabe 6 Tangente 💡 Hilfe zu diesem Thema
Tangente an f(x)=x^2−4x+1 in x0=3.
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  1. f'(x)=2x−4 ⇒ f'(3)=2
  2. f(3)=9−12+1=−2
  3. Tangente: y=2(x−3)−2=2x−8
Aufgabe 7 Normalen 💡 Hilfe zu diesem Thema
Normale an f(x)=x^3 in x0=1.
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  1. f'(x)=3x^2 ⇒ f'(1)=3 ⇒ m_T=3
  2. m_N=−1/3
  3. Normale: y=−(1/3)(x−1)+1
Aufgabe 8 Schar – Berührpunkt 💡 Hilfe zu diesem Thema
f_a(x)=x^2+ax. Finde a, sodass Tangente in x=−a/2 waagrecht ist.
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  1. f'(x)=2x+a ⇒ f'(−a/2)=2(−a/2)+a=0
  2. Für alle a erfüllt ⇒ Bedingung immer erfüllt; Tangente dort horizontal.
Aufgabe 9 Extremwert 💡 Hilfe zu diesem Thema
Maximiere A(x)=x(6−x) für x≥0.
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  1. A'(x)=6−2x=0 ⇒ x=3
  2. A(3)=3·3=9 (Maximum)
Aufgabe 10 Symmetrie 💡 Hilfe zu diesem Thema
f(x)=x^4−2x^2+1. Prüfe Symmetrie.
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  1. f(−x)=f(x) ⇒ achsensymmetrisch zur y‑Achse
Aufgabe 11 Monotonie 💡 Hilfe zu diesem Thema
Untersuche f(x)=−x^3+3x auf Monotonie.
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  1. f'(x)=−3x^2+3=−3(x^2−1) ⇒ Nullstellen ±1
  2. Vorzeichen: (−∞,−1):−; (−1,1):+; (1,∞):−
Aufgabe 12 Schnittpunkt Kurve–Tangente 💡 Hilfe zu diesem Thema
Tangente an f(x)=x^2 bei x0=2 schneidet y‑Achse bei?
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  1. Tangente: y=4(x−2)+4=4x−4
  2. y‑Achsenabschnitt b=−4
Aufgabe 13 Mittelwertsatz 💡 Hilfe zu diesem Thema
Zeige für f(x)=x^2 auf [1,3] die Existenz von c mit f'(c)= (f(3)−f(1))/(3−1).
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  1. MWZ gilt (stetig/diff.)
  2. f'(c)=2c = (9−1)/2 = 4 ⇒ c=2
Aufgabe 14 Grenzwerte 💡 Hilfe zu diesem Thema
Bestimme lim_{x→∞} (3x^2−x)/(x^2+5).
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  1. Grad gleich ⇒ Quotient der Leitkoeffizienten
  2. Grenzwert = 3/1 = 3
Aufgabe 16 Bestimmtes Integral 💡 Hilfe zu diesem Thema
∫_0^2 (2x+1) dx.
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  1. Stammfunktion x^2 + x
  2. Wert: (4+2) − 0 = 6
Aufgabe 17 Fläche zw. Funktionen 💡 Hilfe zu diesem Thema
A zwischen f(x)=x+2 und g(x)=x^2 auf [−1,2].
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  1. Schnittpunkte: x=−1,2
  2. A=∫_{−1}^2 (x+2 − x^2) dx
  3. Stammfunktion: 1/2 x^2 + 2x − 1/3 x^3
  4. Einsetzen ⇒ A=4,5
Aufgabe 18 Partielle Integration 💡 Hilfe zu diesem Thema
∫ x·e^x dx.
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  1. = x e^x − ∫ 1·e^x dx = (x−1)e^x + C
Aufgabe 19 Substitution 💡 Hilfe zu diesem Thema
∫ 2x·cos(x^2) dx.
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  1. u=x^2 ⇒ du=2x dx
  2. ∫ cos(u) du = sin u + C = sin(x^2)+C
Aufgabe 20 Mittelwert 💡 Hilfe zu diesem Thema
Mittelwert von f(x)=x^2 auf [0,3].
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  1. (1/3)∫_0^3 x^2 dx = (1/3)·9 = 3
Aufgabe 21 Parameter im Integral 💡 Hilfe zu diesem Thema
Bestimme a, sodass ∫_0^1 (ax+1) dx = 2.
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  1. (a/2)·1^2 + 1 = 2 ⇒ a=2
Aufgabe 22 Fläche unter Exponentialfunktion 💡 Hilfe zu diesem Thema
∫_0^{ln 3} e^x dx.
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  1. = e^{ln 3} − 1 = 2
Aufgabe 23 Gerade–Ebene Schnitt 💡 Hilfe zu diesem Thema
g: x=(1,2,−1)+t(2,1,3), E: 2x−y+z=5. Bestimme S.
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  1. Einsetzen: 2(1+2t) − (2+t) + (−1+3t) = 5
  2. 2+4t −2 −t −1 +3t =5 ⇒ 6t−1=5 ⇒ t=1
  3. S=(3,3,2)
Aufgabe 24 Lage G–G 💡 Hilfe zu diesem Thema
g: x=(1,0,2)+s(1,1,0); h: x=(0,1,1)+t(2,−2,1).
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  1. u=(1,1,0), v=(2,−2,1) nicht parallel
  2. Gleichsetzen führt zu Widerspruch ⇒ windschief
Aufgabe 25 Abstand P–G 💡 Hilfe zu diesem Thema
P(2,1,0) zu g: x=t(1,2,2).
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  1. d=|((P−A)×u)|/|u|
  2. A=(0,0,0), u=(1,2,2), P−A=(2,1,0)
  3. Kreuzprodukt (2,1,0)×(1,2,2)=(2,−4,3)
  4. d=√29/3
Aufgabe 26 Winkel Vektoren 💡 Hilfe zu diesem Thema
a=(2,−1,2), b=(1,2,2).
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  1. cos φ=(a·b)/(|a||b|)=(4)/(3·3)=4/9
  2. φ≈63,61°
Aufgabe 27 Abstand P–E 💡 Hilfe zu diesem Thema
P(3,−1,2) zu E: 2x−y+2z−7=0.
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  1. d=|2·3−(−1)+2·2−7|/√(4+1+4)=4/3
Aufgabe 28 Geradenwinkel 💡 Hilfe zu diesem Thema
g: x=(1,2,0)+t(1,1,1); h: x=s(1,−1,1).
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  1. u=(1,1,1), v=(1,−1,1)
  2. cos φ=(1−1+1)/3=1/3 ⇒ φ≈70,53°
Aufgabe 29 Ebenengleichung 💡 Hilfe zu diesem Thema
Normalenform mit n=(2,−1,1), P0(1,2,3).
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  1. n·(x−P0)=0 ⇒ 2(x−1) − (y−2) + (z−3)=0
  2. ⇒ 2x − y + z − 3 = 0
Aufgabe 30 Volumen Tetraeder 💡 Hilfe zu diesem Thema
A(0,0,0), B(1,0,0), C(0,2,0), D(0,0,3).
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  1. V=|det(AB,AC,AD)|/6=6/6=1
Aufgabe 31 Gerade in Ebene? 💡 Hilfe zu diesem Thema
g: x=(1,−1,0)+t(2,1,−1), E: x−2y+z=0.
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  1. Einsetzen ⇒ 3−t=0 nur für t=3
  2. ⇒ g liegt nicht vollständig in E (nur Schnittpunkt).
Aufgabe 32 Spurpunkte einer Ebene 💡 Hilfe zu diesem Thema
E: 2x−y+z=6. Bestimme Schnittpunkte mit Achsen.
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  1. x‑Achse: y=z=0 ⇒ 2x=6 ⇒ (3,0,0)
  2. y‑Achse: x=z=0 ⇒ −y=6 ⇒ (0,−6,0)
  3. z‑Achse: x=y=0 ⇒ z=6 ⇒ (0,0,6)
Aufgabe 33 Koordinatenform aus drei Punkten 💡 Hilfe zu diesem Thema
Durch A(1,0,0), B(0,2,0), C(0,0,3).
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  1. Richtungen AB=(−1,2,0), AC=(−1,0,3)
  2. Normalenvektor n=AB×AC = (6,3,2)
  3. E: 6x + 3y + 2z = 6
Aufgabe 34 Sinusfunktion 💡 Hilfe zu diesem Thema
f(x)=2·sin(3x−π/2). Bestimme Amplitude und Periode.
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  1. A=2; T=2π/3
Aufgabe 35 Sinusgleichung 💡 Hilfe zu diesem Thema
Löse auf [0,2π]: 2·sin x=√3.
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  1. sin x=√3/2 ⇒ x=π/3, 2π/3
Aufgabe 36 Cosinussatz 💡 Hilfe zu diesem Thema
a=8, b=6, γ=60°. Bestimme c.
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  1. c^2=a^2+b^2−2ab cos γ = 64+36−96·0,5=52
  2. c=√52≈7,21
Aufgabe 37 Kreissektor 💡 Hilfe zu diesem Thema
r=10 cm, Winkel 72°. Fläche?
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  1. Anteil 72/360=1/5
  2. A=20π≈62,83 cm²
Aufgabe 38 Binomial – Einzel 💡 Hilfe zu diesem Thema
n=10, p=0,3. P(X=4)?
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  1. C(10,4)=210
  2. P=210·0,3^4·0,7^6≈0,200
Aufgabe 39 Binomial – Mindestens 💡 Hilfe zu diesem Thema
n=8, p=0,6. P(X≥6)?
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  1. P=P(6)+P(7)+P(8)
  2. ≈ 28·0,6^6·0,4^2 + 8·0,6^7·0,4 + 0,6^8 ≈ 0,594
Aufgabe 40 Erwartungswert/Varianz 💡 Hilfe zu diesem Thema
Bei Bin(n,p) bestimme E(X) und Var(X).
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  1. E(X)=n·p
  2. Var(X)=n·p·(1−p)
Aufgabe 41 Standardabweichung 💡 Hilfe zu diesem Thema
Werte: 2,4,4,6,10. Bestimme μ und σ.
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  1. μ=26/5=5,2
  2. Quadratsummen=36,8 ⇒ Var=7,36 ⇒ σ≈2,713
Aufgabe 42 Kombinatorik 💡 Hilfe zu diesem Thema
Wie viele 5‑stellige Codes (0–9) ohne Wiederholung?
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  1. 10·9·8·7·6=30 240
Aufgabe 43 Hypergeometrisch 💡 Hilfe zu diesem Thema
Urne: 7 rot, 5 blau. Zwei Ziehungen ohne Zurücklegen. P(beide rot)?
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  1. P= (7/12)·(6/11)=42/132≈0,318
Aufgabe 46 Grenzwert Folge 💡 Hilfe zu diesem Thema
Bestimme lim_{n→∞} (2n^2+1)/(n^2−n).
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  1. Leitkoeffizienten: 2/1 ⇒ Grenzwert 2
Aufgabe 47 Funktionsanalyse 💡 Hilfe zu diesem Thema
f(x)=−x^2+4x−3: Berechne f(2) und Nullstellen.
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  1. f(2)=−4+8−3=1
  2. Nullstellen: pq mit p=−4,q=−3 ⇒ x=−2±√7