Klasse 9 – 36 Übungsaufgaben

Mit schrittweiser Lösungsbegleitung. Tipp: Aufgaben ausdrucken und nacheinander bearbeiten.

🌈 Einfache Sprache
Aufgabe 1 Lineare Funktion – Steigung/Abschnitt 💡 Hilfe zu diesem Thema
Bestimme die Funktionsgleichung der Geraden durch die Punkte A(−2, 3) und B(4, −1).
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  1. Steigung m = (y2−y1)/(x2−x1) = (−1−3)/(4−(−2)) = −4/6 = −2/3
  2. Setze in y = m x + b und nutze z. B. A: 3 = (−2/3)(−2) + b ⇒ 3 = 4/3 + b
  3. b = 3 − 4/3 = 5/3
  4. Ergebnis: f(x) = (−2/3)x + 5/3
Aufgabe 2 Gleichungssystem (Additionsverfahren) 💡 Hilfe zu diesem Thema
Löse: 2x + 3y = 13 und 3x − 2y = 4
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  1. Multipliziere I mit 2 und II mit 3: 4x + 6y = 26; 9x − 6y = 12
  2. Addiere: 13x = 38 ⇒ x = 38/13 = 2,923… = 38/13
  3. Setze x in I ein: 2x + 3y = 13 ⇒ 2·(38/13) + 3y = 13
  4. 2·(38/13) = 76/13 ⇒ 3y = 13 − 76/13 = (169−76)/13 = 93/13 ⇒ y = 31/13 ≈ 2,385
  5. Lösung: (x, y) = (38/13, 31/13)
Aufgabe 3 Gleichungssystem (Einsetzverfahren) 💡 Hilfe zu diesem Thema
Löse: y = 2x + 1 und 3x + y = 10
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  1. Setze y ein: 3x + (2x + 1) = 10 ⇒ 5x + 1 = 10
  2. 5x = 9 ⇒ x = 9/5 = 1,8
  3. y = 2·1,8 + 1 = 4,6
  4. Lösung: (x, y) = (1,8, 4,6)
Aufgabe 4 Geradenschnittpunkt 💡 Hilfe zu diesem Thema
Bestimme den Schnitt von g: y = −0,5x + 4 und h: y = 2x − 5.
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  1. Gleichsetzen: −0,5x + 4 = 2x − 5
  2. Addiere 0,5x: 4 = 2,5x − 5 ⇒ 9 = 2,5x ⇒ x = 3,6
  3. y = 2·3,6 − 5 = 2,2
  4. Schnittpunkt S(3,6 | 2,2)
Aufgabe 5 Gerade – Parallelität/Orthogonalität 💡 Hilfe zu diesem Thema
Prüfe, ob g: y = 3x − 1 und h: y = −1/3 x + 2 orthogonal sind.
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  1. Steigungen: m_g = 3, m_h = −1/3
  2. Produkt m_g · m_h = 3 · (−1/3) = −1 ⇒ Geraden sind orthogonal.
Aufgabe 6 Koordinaten – Abstand & Mittelpunkt 💡 Hilfe zu diesem Thema
Bestimme Abstand und Mittelpunkt der Strecke zwischen P(−3, 2) und Q(5, −2).
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  1. Abstand: d = √((5−(−3))² + (−2−2)²) = √(8² + (−4)²) = √(64+16) = √80 = 4√5
  2. Mittelpunkt: M = ((−3+5)/2, (2+(−2))/2) = (1, 0)
Aufgabe 7 Parabel – Scheitelpunkt 💡 Hilfe zu diesem Thema
Bestimme den Scheitel von f(x) = x² − 6x + 5.
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  1. Quadratische Ergänzung: x² − 6x = (x − 3)² − 9
  2. f(x) = (x − 3)² − 9 + 5 = (x − 3)² − 4
  3. Scheitel S(3 | −4)
Aufgabe 8 Nullstellen (pq-Formel) 💡 Hilfe zu diesem Thema
Berechne die Nullstellen von f(x) = x² − 4x − 5.
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  1. pq-Formel: p = −4, q = −5 ⇒ x = p/2 ± √((p/2)² − q)
  2. x = −2 ± √(4 − (−5)) = −2 ± √9 = −2 ± 3
  3. x₁ = 1, x₂ = −5
Aufgabe 9 Quadratische Gleichung (abc-Formel) 💡 Hilfe zu diesem Thema
Löse: 2x² + 3x − 5 = 0.
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  1. abc-Formel: x = [−b ± √(b² − 4ac)]/(2a)
  2. a=2, b=3, c=−5 ⇒ Diskriminante D = 3² − 4·2·(−5) = 9 + 40 = 49
  3. x = [−3 ± √49]/4 = [−3 ± 7]/4 ⇒ x₁=1, x₂=−2,5
Aufgabe 10 Faktorisieren 💡 Hilfe zu diesem Thema
Faktorisere: x² − 9x + 20
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  1. Suche Zahlen mit Summe −9 und Produkt 20 ⇒ −5 und −4
  2. x² − 9x + 20 = (x − 5)(x − 4)
Aufgabe 11 Parabel aus Punkten 💡 Hilfe zu diesem Thema
Bestimme f(x)=ax²+bx+c durch die Punkte A(0,2), B(1,0), C(−1,6).
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  1. Setze Punkte ein:
  2. A: c = 2
  3. B: a + b + c = 0 ⇒ a + b + 2 = 0 ⇒ a + b = −2
  4. C: a(1) − b + c = 6 ⇒ a − b + 2 = 6 ⇒ a − b = 4
  5. Löse: Addiere: 2a = 2 ⇒ a = 1; dann b = −3; c = 2
  6. Ergebnis: f(x) = x² − 3x + 2
Aufgabe 12 Quadratische Ungleichung 💡 Hilfe zu diesem Thema
Löse: x² − x − 6 ≥ 0.
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  1. Faktorisiere: (x − 3)(x + 2) ≥ 0
  2. Vorzeichenbetrachtung: Nullstellen −2 und 3
  3. Ergebnis: x ≤ −2 oder x ≥ 3
Aufgabe 13 Parabel – Streckung/Verschiebung 💡 Hilfe zu diesem Thema
Beschreibe die Veränderung von f(x)=x² zu g(x)=−2(x−1)²+3.
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  1. Verschiebung: nach rechts um 1, nach oben um 3
  2. Streckung: in y-Richtung mit Faktor 2 und Spiegelung an x-Achse
Aufgabe 14 Lineares–Quadratisches System 💡 Hilfe zu diesem Thema
Berechne Schnittpunkte von y = x² − 4 und y = 2x.
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  1. Setze gleich: x² − 4 = 2x ⇒ x² − 2x − 4 = 0
  2. pq-Formel: x = 1 ± √5
  3. y = 2x ⇒ Punkte: (1+√5, 2+2√5) und (1−√5, 2−2√5)
Aufgabe 15 Potenzen – Rechenregeln 💡 Hilfe zu diesem Thema
Vereinfache: 2^3 · 2^5 ÷ 2^2
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  1. Addiere Exponenten bei Multiplikation: 2^{3+5} = 2^8
  2. Subtrahiere bei Division: 2^{8−2} = 2^6 = 64
Aufgabe 16 Exponentialfunktion – Wachstumsfaktor 💡 Hilfe zu diesem Thema
Ein Bakterienstamm verdoppelt sich alle 6 Stunden. Starte mit 500. Wie viele nach 24 h?
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  1. 24 h / 6 h = 4 Verdopplungen
  2. N = 500 · 2^4 = 500 · 16 = 8000
Aufgabe 17 Zinseszins 💡 Hilfe zu diesem Thema
Kapital 1000 € wächst 3 Jahre lang mit 4 % p. a. Endkapital?
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  1. Wachstumsfaktor: 1,04
  2. K = 1000 · 1,04^3 ≈ 1000 · 1,124864 = 1124,86 €
Aufgabe 18 Logarithmus – Einführung 💡 Hilfe zu diesem Thema
Bestimme x: 10^x = 0,01
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  1. Schreibe 0,01 = 10^{−2}
  2. ⇒ x = −2
Aufgabe 19 Trigonometrie – Sinus 💡 Hilfe zu diesem Thema
Rechtwinkliges Dreieck: Gegenkathete 6, Hypotenuse 10. Bestimme Winkel α.
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  1. sin(α) = G/H = 6/10 = 0,6
  2. α = arcsin(0,6) ≈ 36,87°
Aufgabe 20 Trigonometrie – Cosinus 💡 Hilfe zu diesem Thema
Rechtwinkliges Dreieck: Ankathete 7, Hypotenuse 13. α?
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  1. cos(α) = A/H = 7/13 ≈ 0,5385
  2. α = arccos(7/13) ≈ 57,69°
Aufgabe 21 Trigonometrie – Tangens & Seiten 💡 Hilfe zu diesem Thema
Rechtwinkliges Dreieck: Winkel α = 35°, Ankathete 9. Gegenkathete?
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  1. tan(α) = G/A ⇒ G = A·tan(α) = 9·tan(35°) ≈ 6,30
Aufgabe 22 Höhenberechnung 💡 Hilfe zu diesem Thema
Ein Baum wirft einen 12 m langen Schatten. Sonnenhöhe 40°. Wie hoch ist der Baum?
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  1. tan(40°) = Höhe / 12 ⇒ Höhe = 12·tan(40°) ≈ 10,07 m
Aufgabe 23 Kreis – Umfang & Fläche 💡 Hilfe zu diesem Thema
Kreis mit r = 4 cm. Berechne U und A.
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  1. U = 2πr = 8π ≈ 25,13 cm
  2. A = πr² = 16π ≈ 50,27 cm²
Aufgabe 24 Zylinder 💡 Hilfe zu diesem Thema
Zylinder mit r = 3 cm, h = 10 cm. Volumen und Oberfläche?
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  1. Volumen: V = πr²h = π·9·10 = 90π ≈ 282,74 cm³
  2. Oberfläche: O = 2πr² + 2πrh = 2π·9 + 2π·3·10 = 18π + 60π = 78π ≈ 245,04 cm²
Aufgabe 25 Kegel 💡 Hilfe zu diesem Thema
Kegel mit r=5 cm, h=12 cm. Volumen?
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  1. V = (1/3)πr²h = (1/3)π·25·12 = 100π ≈ 314,16 cm³
Aufgabe 26 Ähnlichkeit – Vergrößerung 💡 Hilfe zu diesem Thema
Zwei ähnliche Dreiecke: Seitenverhältnis 1:2. Fläche des kleinen ist 12 cm². Große Fläche?
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  1. Flächen verhalten sich im Quadrat des Verhältnisses: 1²:2² = 1:4
  2. A_groß = 12·4 = 48 cm²
Aufgabe 27 Koordinatengeometrie – Geradenwinkel 💡 Hilfe zu diesem Thema
Bestimme den Winkel zwischen g: y=0,5x und h: y=−2x.
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  1. tan(φ) = |(m2−m1)/(1+m1·m2)| = |(−2−0,5)/(1+0,5·(−2))| = |−2,5/0|
  2. ⇒ φ = 90° (senkrecht)
Aufgabe 28 Baumdiagramm – Pfadregel 💡 Hilfe zu diesem Thema
Eine Urne: P(Rot)=0,3, P(Blau)=0,7. Zwei Ziehungen mit Zurücklegen. P(Rot, dann Blau)?
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  1. Unabhängig: P = 0,3 · 0,7 = 0,21
Aufgabe 29 Ohne Zurücklegen 💡 Hilfe zu diesem Thema
Urne: 5 rote, 7 blaue Kugeln. Zwei Ziehungen ohne Zurücklegen. P(beide rot)?
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  1. Erste rot: 5/12; zweite rot: 4/11
  2. P = (5/12)·(4/11) = 20/132 ≈ 0,1515
Aufgabe 30 Kombinatorik – Anordnungen 💡 Hilfe zu diesem Thema
Wie viele 4-stellige Codes mit Ziffern 0–9 **ohne** Wiederholung?
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  1. Anzahl: 10·9·8·7 = 5040
Aufgabe 31 Statistik – Lageparameter 💡 Hilfe zu diesem Thema
Gegeben Werte: 3, 7, 7, 8, 10, 10, 14. Bestimme Mittelwert und Median.
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  1. Mittelwert = (3+7+7+8+10+10+14)/7 = 59/7 ≈ 8,43
  2. Median (mittlerer Wert) = 8
Aufgabe 32 Arithmetische Folge 💡 Hilfe zu diesem Thema
Gegeben a1=5 und d=3. Bestimme a10.
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  1. a_n = a1 + (n−1)·d ⇒ a10 = 5 + 9·3 = 32
Aufgabe 33 Geometrische Folge 💡 Hilfe zu diesem Thema
Gegeben a1=2 und q=1,5. Bestimme a6.
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  1. a_n = a1·q^{n−1} ⇒ a6 = 2·1,5^5 ≈ 15,19
Aufgabe 34 Textaufgabe – Lineares Modell 💡 Hilfe zu diesem Thema
Ein Handytarif kostet Grundgebühr 10 € und 0,09 € pro Minute. Stelle die Kostenfunktion K(x) auf.
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  1. K(x) = 0,09x + 10 (x in Minuten)
Aufgabe 35 Funktionsanalyse – Wert & Nullstelle 💡 Hilfe zu diesem Thema
Für f(x)=−x²+4x−3: Berechne f(2) und die Nullstellen.
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  1. f(2)=−4+8−3=1
  2. Nullstellen: pq-Formel mit p=−4, q=−3 ⇒ x = −2 ± √(4−(−3)) = −2 ± √7
  3. x₁ = −2 + √7, x₂ = −2 − √7
Aufgabe 36 Quadratische Ergänzung – Allgemein 💡 Hilfe zu diesem Thema
Schreibe f(x)=2x²−8x+7 in Scheitelform.
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  1. Faktoriere 2: f(x)=2(x²−4x)+7
  2. Ergänze: x²−4x=(x−2)²−4 ⇒ f(x)=2[(x−2)²−4]+7=2(x−2)²−8+7
  3. Scheitelform: f(x)=2(x−2)²−1; Scheitel S(2|−1)
Aufgabe 37 Quadratische Gleichung – gemischt 💡 Hilfe zu diesem Thema
Löse: (x−1)(x+3)=10
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  1. Ausmultiplizieren: x²+2x−3=10 ⇒ x²+2x−13=0
  2. pq-Formel: x = −1 ± √(1+13) = −1 ± √14