🌈 Klasse 10 – Hilfe in einfacher Sprache (alle Themen)

Was bedeutet das? Du hast Teil 1 × Teil 2. Beide hängen von x ab. Wir leiten richtig ab.

So kannst du es dir vorstellen: Preis = Anzahl × Stückpreis. Beides ändert sich → Gesamtpreis ändert sich.

1. Schreibe: u = erster Teil, v = zweiter Teil.
2. Leite u ab → u'.
3. Leite v ab → v'.
4. Rezept: u'·v + u·v'

Einfaches Beispiel: u=x, v=x² ⇒ u'=1, v'=2x ⇒ Ergebnis: 3x².

Aus Aufgabe 1: (2x−3)(x²+1) ⇒ f'(x)=2(x²+1)+(2x−3)·(2x)=6x²−6x+2.

Was bedeutet das? Du hast oben / unten (Zähler / Nenner). Beides hängt von x ab.

1. Setze: u = Zähler, v = Nenner.
2. Leite ab: u', v'.
3. Rezept: (u'·v − u·v') / v²

Aus Aufgabe 2: (3x²−1)/(x−2) ⇒ f'(x)=(6x(x−2)−(3x²−1))/(x−2)².

Was bedeutet das? Außen ist eine Form (z. B. Potenz), innen steht eine Klammer.

1. Außen ableiten.
2. Mit der Ableitung von innen multiplizieren.

Aus Aufgabe 3: (5x−1)&sup4 ⇒ 4(5x−1)³ · 5 = 20(5x−1)³.

Was bedeutet das? Hier ist die Kurve ganz oben (Max) oder ganz unten (Min).

1. f'(x)=0 lösen → Kandidaten.
2. f''(x) prüfen: >0 = Min, <0 = Max.

Aus Aufgabe 4: Max bei x=0, Min bei x=2.

Was bedeutet das? Die Krümmung wechselt (links‑ zu rechts‑gekrümmt oder umgekehrt).

1. f''(x)=0 finden.
2. Prüfen: Vorzeichen der Krümmung wechselt?

Aus Aufgabe 5: x=0 ist Wendestelle.

Was bedeutet das? Gerade, die die Kurve in genau einem Punkt berührt.

1. Steigung m = f'(x₀) berechnen.
2. Formel: y = m(x−x₀) + f(x₀)

Aus Aufgabe 6: x₀=3 ⇒ y=2x−8.

Was bedeutet das? „Rückwärts ableiten“. Wenn F' = f, dann ist F eine Stammfunktion.

1. Jeden Teil einzeln integrieren.
2. + C nicht vergessen.

Aus Aufgabe 13: 3x²−4x+5 ⇒ x³−2x²+5x + C.

1. Intervall/Schnittpunkte finden.
2. Oben − Unten integrieren.

Aus Aufgabe 15: Ergebnis 4,5.

Was bedeutet das? Durchschnittswert von f auf [a,b].

(1/(b−a)) ∫_a^b f(x) dx

Aus Aufgabe 17: x² auf [0,3] ⇒ 3.

1. Gerade x=p+tu in die Ebene einsetzen.
2. t berechnen → Punkt S einsetzen.

Aus Aufgabe 19: S=(3,3,2).

Formel: a/sin α = b/sin β = c/sin γ

Aus Aufgabe 28: β ≈ 55°.

c² = a² + b² − 2ab cos γ

Aus Aufgabe 29: c ≈ 7,21.

Wichtig: Amplitude A = Höhe, Periode T = Länge eines Zyklus.

Aus Aufgabe 30: A=2, T=2π/3.

Frage: Wie oft passiert „Erfolg“ in n Versuchen?

P(X=k)=C(n,k)p^k(1−p)^{n−k}

Aus Aufgabe 33: P(X=4)≈0,200.

E=np, Var=np(1−p)

Aus Aufgabe 35: E=3, Var=2,1.

Bedeutung: Wie stark streuen die Werte?

σ=√Var

Aus Aufgabe 37: σ≈2,713.

Frage: Wie viele Möglichkeiten?

Aus Aufgabe 36: mit WH: 10&sup5, ohne: 10·9·8·7·6.

1. Hauptnenner finden.
2. Mit dem Hauptnenner alles multiplizieren.
3. Lösen und verbotene Werte prüfen (Nenner ≠ 0).

Aus Aufgabe 39: (x/2)+3/x=4 ⇒ mit 2x multiplizieren ⇒ x²−8x+6=0 ⇒ prüfen.

1. Wurzel isolieren.
2. Beide Seiten quadrieren.
3. Ergebnis prüfen (Scheinlösungen!).

Aus Aufgabe 40: √(x+1)=x−1 ⇒ x=3 gültig, x=0 nicht.

Was bedeutet das? Wir suchen das Beste: z. B. größte Fläche.

1. Größe (z. B. Fläche) als Funktion aufschreiben.
2. Ableiten und gleich 0 setzen.
3. Prüfen, ob Maximum.

Aus Aufgabe 43: Zaun an Mauer ⇒ A_max=200 m².

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• Steigung: Wie steil es hoch oder runter geht (bergauf/bergab).
• Tangente: Gerade, die die Kurve in einem Punkt berührt.
• Ableitung: Rechenregel, mit der man die Steigung einer Funktion findet.
• Stammfunktion: „Rückwärts ableiten“ (F' = f).
• Integral: Rechenweg, um Flächen zu berechnen.
• Vektor: Pfeil mit Länge und Richtung.
• Skalarprodukt: Rechenregel, um Winkel zu finden.
• Determinante: Zahl aus einer Matrix; hilft u. a. bei Volumen.
• Sinus/Cosinus: Regeln für Dreiecke und Wellenformen.
• Binomialverteilung: Modell für „Erfolg/Fehler“ in n Versuchen.
• Erwartungswert: Durchschnitt, den man erwarten kann.
• Varianz/Standardabweichung: Wie stark Werte streuen.
• Hauptnenner: Gemeinsamer Nenner für alle Brüche.
• Kehrwert: 1 geteilt durch eine Zahl oder ein Ausdruck.