Klasse 10 – 45 Übungsaufgaben mit Rechenweg

Aufgabe 1 Ableitung – Produktregel

Bestimme f'(x) für f(x) = (2x−3)(x²+1).

Lösung anzeigen

Produktregel: (uv)' = u'v + uv'
u=2x−3 ⇒ u' = 2
v=x²+1 ⇒ v' = 2x
f'(x) = 2(x²+1) + (2x−3)(2x) = 2x²+2 + 4x²−6x
Zusammenfassen: f'(x) = 6x² − 6x + 2

Aufgabe 2 Ableitung – Quotientenregel

Bestimme f'(x) für f(x) = (3x²−1)/(x−2).

Lösung anzeigen

Quotientenregel: (u/v)' = (u'v − uv')/v²
u=3x²−1 ⇒ u' = 6x
v=x−2 ⇒ v' = 1
f'(x) = (6x(x−2) − (3x²−1)·1)/(x−2)²
Zähler: 6x²−12x − 3x² + 1 = 3x²−12x+1
f'(x) = (3x² − 12x + 1)/(x−2)²

Aufgabe 3 Ableitung – Kettenregel

Bestimme f'(x) für f(x) = (5x−1)⁴.

Lösung anzeigen

Kettenregel: (g(x))^n' = n(g(x))^{n−1}·g'(x)
g(x)=5x−1 ⇒ g'(x)=5
f'(x) = 4(5x−1)³·5 = 20(5x−1)³

Aufgabe 4 Kurvendiskussion – Extrema

Gegeben f(x) = x³ − 3x² + 2. Finde Extremstellen.

Lösung anzeigen

f'(x)=3x²−6x = 3x(x−2) ⇒ Nullstellen bei x=0 und x=2
f''(x)=6x−6 ⇒ f''(0)=−6<0 ⇒ Maximum bei x=0
f''(2)=6>0 ⇒ Minimum bei x=2
Funktionswerte: f(0)=2; f(2)=8−12+2=−2
Extrema: Max (0|2), Min (2|−2)

Aufgabe 5 Kurvendiskussion – Wendestelle

Bestimme Wendestellen von f(x)=x³−6x.

Lösung anzeigen

f'(x)=3x²−6; f''(x)=6x
Wendestelle: f''(x)=0 ⇒ x=0
Wechsel des Krümmungsvorzeichens um x=0 gegeben
Punkt: (0, f(0)) = (0, 0)

Aufgabe 6 Tangente an Kurve

Bestimme die Tangentengleichung an f(x)=x²−4x+1 in x0=3.

Lösung anzeigen

f'(x)=2x−4 ⇒ f'(3)=2
f(3)=9−12+1=−2
Tangente: y = m(x−x0)+f(x0) = 2(x−3) − 2 = 2x − 8

Aufgabe 7 Funktionsschar – Berührpunkt

f_a(x)=x²+ax. Finde a, sodass die Tangente in x=1 die x‑Achse berührt.

Lösung anzeigen

Tangente in x=1: y = f(1) + f'(1)(x−1).
Bedingung „berührt x‑Achse“: Tangente verläuft als y=0 ⇒ f(1)=0 und f'(1)=0
f(1)=1+a ⇒ 1+a=0 ⇒ a=−1
f'(x)=2x+a ⇒ f'(1)=2+a ⇒ 2−1=1 ≠ 0
Nur mit f(1)=0 ist Tangente nicht automatisch y=0. Korrigiert:
Wir fordern: Tangente y=m(x−1)+f(1) hat y=0 bei x=1 doppelt ⇒ f(1)=0 und m=0 ⇒ f'(1)=0
f(1)=1+a=0 ⇒ a=−1; f'(1)=2+a=0 ⇒ a=−2
Widerspruch → Es gibt keinen a, für den BEIDE Bedingungen gelten. Alternativ: Bedingung „Tangente hat Berührpunkt mit x‑Achse“ ist nicht erfüllbar für diese Schar.

Aufgabe 8 Extremwert – Rechteck unter Parabel

Maximiere Fläche eines Rechtecks unter f(x)=−x²+4 im 1. Quadranten, mit Ecken auf x‑ und y‑Achse.

Lösung anzeigen

Rechteckpunkte: (0,0), (x,0), (x,f(x)), (0,f(x))
Fläche A(x)=x·f(x)=x(−x²+4)=−x³+4x
A'(x)=−3x²+4 ⇒ 0=−3x²+4 ⇒ x=±√(4/3) (nur >0)
x=√(4/3); Höhe f(x)=−(4/3)+4=8/3
A_max = x·f(x) = √(4/3)·(8/3) = (8/3)·(2/√3)=16/(3√3) ≈ 3,079

Aufgabe 9 Wachstum – Verdopplungszeit

N(t)=N0·a^t, a>1. Zeige: Verdopplungszeit T=log_a(2).

Lösung anzeigen

Setze N(T)=2N0: 2N0 = N0·a^T ⇒ 2=a^T
Logarithmieren: T = log_a(2)

Aufgabe 10 Logarithmus – Umformen

Forme um: ln(x²√x) – ln(x).

Lösung anzeigen

ln(x²√x)=ln(x²·x^1/2)=ln(x^{2,5})=2,5·ln x
Minus ln(x): 2,5·ln x − ln x = 1,5·ln x = (3/2) ln x

Aufgabe 11 Exponentialgleichung

Löse: 3·2^x = 48.

Lösung anzeigen

Teile durch 3: 2^x = 16
Schreibe 16=2⁴ ⇒ x=4

Aufgabe 12 Potenzgleichung

Löse: x^3/2 = 27.

Lösung anzeigen

Erhebe beide Seiten auf (2/3): x = 27^2/3
27^1/3=3 ⇒ 27^2/3=3²=9 ⇒ x=9

Aufgabe 13 Unbestimmtes Integral

Bestimme ∫ (3x² − 4x + 5) dx.

Lösung anzeigen

∫3x² dx = x³; ∫(−4x) dx = −2x²; ∫5 dx = 5x
Ergebnis: x³ − 2x² + 5x + C

Aufgabe 14 Bestimmtes Integral – Fläche

Berechne ∫_0² (2x+1) dx.

Lösung anzeigen

Stammfunktion: x² + x
Einsetzen: (2²+2) − (0+0) = 4+2 = 6

Aufgabe 15 Fläche zwischen Funktionen

Berechne die Fläche zwischen f(x)=x+2 und g(x)=x² auf [−1,2].

Lösung anzeigen

Schnittpunkte: x²=x+2 ⇒ x²−x−2=0 ⇒ (x−2)(x+1)=0 ⇒ x=−1,2
Fläche: ∫_{−1}^2 (f−g) dx = ∫(x+2 − x²) dx
Stammfunktion: (1/2)x² + 2x − (1/3)x³
Einsetzen: [ (1/2)·4 + 4 − (1/3)·8 ] − [ (1/2)·1 − 2 − (1/3)(−1) ]
= (2+4−8/3) − (0,5 − 2 + 1/3) = (6 − 8/3) − (−1,5 + 1/3)
= (18/3 − 8/3) − (−4,5/3 + 1/3) = 10/3 − (−3,5/3) = 13,5/3 = 4,5

Aufgabe 16 Integral – Parameter

Bestimme a, sodass ∫_0¹ (ax + 1) dx = 2.

Lösung anzeigen

Stammfunktion: (a/2)x² + x
Einsetzen 0→1: (a/2)·1 + 1 − 0 = a/2 + 1
Gleichung: a/2 + 1 = 2 ⇒ a=2

Aufgabe 17 Mittelwert einer Funktion

Mittelwert von f(x)=x² auf [0,3].

Lösung anzeigen

Formel: (1/(b−a))∫_a^b f(x)dx = (1/3)∫_0³ x² dx
∫_0³ x² dx = [x³/3]_0³ = 27/3 = 9
Mittelwert = 9/3 = 3

Aufgabe 18 Arbeit mit Integralen

Zeige: ∫ (2x−1)·e^{x} dx = (2x−3)e^{x} + C.

Lösung anzeigen

Partielle Integration oder Ansatz: (Ax+B)e^{x}
Ableiten: ((Ax+B)' + (Ax+B))e^{x} = (A + Ax + B)e^{x}
Vergleiche mit (2x−1)e^{x} ⇒ A=2, B=−3
Ergebnis: (2x−3)e^{x} + C

Aufgabe 19 Gerade–Ebene Schnittpunkt

Gegeben g: x = (1,2,−1) + t(2,1,3), E: 2x − y + z = 5. Bestimme S.

Lösung anzeigen

Setze x=p+t·u in E: 2(1+2t) − (2+t) + (−1+3t) = 5
⇒ 2+4t −2 −t −1 +3t = 5 ⇒ (4t−t+3t) + (2−2−1) = 5
⇒ 6t −1 = 5 ⇒ 6t = 6 ⇒ t = 1
S = (1,2,−1) + 1·(2,1,3) = (3,3,2)

Aufgabe 20 Lagebeziehung Gerade–Gerade

g: x=(1,0,2)+s(1,1,0); h: x=(0,1,1)+t(2,−2,1). Prüfe Lagebeziehung.

Lösung anzeigen

Richtungsvektoren: u=(1,1,0), v=(2,−2,1)
Kein Vielfaches ⇒ nicht parallel
Löse (1,0,2)+s(1,1,0) = (0,1,1)+t(2,−2,1)
Gleichungen: 1+s=2t; s=1−2t; 0+s=1−2t ⇒ s=1−2t
z: 2 = 1 + t ⇒ t=1 ⇒ s = −1
Einsetzen in x: (1,0,2)+(−1)(1,1,0)=(0,−1,2) ≠ (0,1,1)+1(2,−2,1)=(2,−1,2)
Widerspruch ⇒ windschief

Aufgabe 21 Abstand Punkt–Gerade

Abstand von P(2,1,0) zu g: x=(0,0,0)+t(1,2,2).

Lösung anzeigen

Formel: d = |( (P−A) × u )| / |u|
A=(0,0,0), u=(1,2,2), P−A=(2,1,0)
Kreuzprodukt: (2,1,0)×(1,2,2) = (1·2−0·2, 0·1−2·2, 2·2−1·1) = (2, −4, 3)
|…| = √(4+16+9)=√29; |u|=√(1+4+4)=3
d = √29 / 3

Aufgabe 22 Winkel zwischen Vektoren

Bestimme den Winkel zwischen a=(2,−1,2) und b=(1,2,2).

Lösung anzeigen

cos φ = (a·b)/(|a||b|)
a·b = 2·1 + (−1)·2 + 2·2 = 2 − 2 + 4 = 4
|a| = √(4+1+4)=3; |b| = √(1+4+4)=3
cos φ = 4/9 ⇒ φ = arccos(4/9) ≈ 63,61°

Aufgabe 23 Abstand Punkt–Ebene

Abstand von P(3,−1,2) zur Ebene E: 2x−y+2z−7=0.

Lösung anzeigen

Formel: d = |n·P + d0| / |n| mit n=(2,−1,2), d0=−7
n·P + d0 = 2·3 − (−1)·1 + 2·2 − 7 = 6 + 1 + 4 − 7 = 4
|n|=√(4+1+4)=3 ⇒ d=4/3

Aufgabe 24 Geradenwinkel

Winkel zwischen g: x=(1,2,0)+t(1,1,1) und h: x=(0,0,0)+s(1,−1,1).

Lösung anzeigen

Richtungsvektoren u=(1,1,1), v=(1,−1,1)
cos φ = (u·v)/(|u||v|) = (1−1+1)/(√3·√3) = 1/3
φ = arccos(1/3) ≈ 70,53°

Aufgabe 25 Ebene – Normalenform zu Koordinatenform

Gegeben n=(2,−1,1) und Punkt P0(1,2,3). Bestimme Ebenengleichung.

Lösung anzeigen

Normalenform: n·(x−P0)=0 ⇒ 2(x−1) −1(y−2) +1(z−3)=0
Ausmultiplizieren: 2x−2 − y + 2 + z − 3 = 0 ⇒ 2x − y + z − 3 = 0

Aufgabe 26 Volumen Tetraeder

Volumen des Tetraeders mit Punkten A(0,0,0), B(1,0,0), C(0,2,0), D(0,0,3).

Lösung anzeigen

V = |det(AB, AC, AD)| / 6
AB=(1,0,0), AC=(0,2,0), AD=(0,0,3) ⇒ det = 1·2·3 = 6
V = 6/6 = 1

Aufgabe 27 Gerade in Ebene?

Prüfe, ob g: x=(1,−1,0)+t(2,1,−1) in E: x−2y+z=0 liegt.

Lösung anzeigen

Einsetzen: x=1+2t, y=−1+t, z=−t
Gleichung: (1+2t) − 2(−1+t) + (−t) = 0 ⇒ 1+2t +2 −2t − t = 0 ⇒ 3 − t = 0
Nur für t=3 erfüllt ⇒ Gerade liegt nicht vollständig in E (schneidet E in einem Punkt).

Aufgabe 28 Sinusgesetz

In ΔABC seien a=7, b=9 und α=40°. Bestimme β.

Lösung anzeigen

Sinusgesetz: a/sin α = b/sin β
sin β = b·sin α / a = 9·sin 40° / 7 ≈ 0,823
β ≈ arcsin(0,823) ≈ 55,0° (prüfe spitz/ stumpf mit γ)

Aufgabe 29 Cosinussatz

In ΔABC: a=8, b=6, γ=60°. Bestimme c.

Lösung anzeigen

c² = a² + b² − 2ab cos γ
c² = 64 + 36 − 96·0,5 = 52 ⇒ c = √52 ≈ 7,21

Aufgabe 30 Sinusfunktion – Periode & Amplitude

Gegeben f(x)=2·sin(3x−π/2). Nenne Periode und Amplitude.

Lösung anzeigen

Amplitude A=2
Frequenzfaktor 3 ⇒ Periode T = 2π/3

Aufgabe 31 Kreissektor

Kreissektor mit r=10 cm und Mittelpunktswinkel 72°. Fläche?

Lösung anzeigen

Tortenstück-Anteil: 72°/360° = 1/5
A = (1/5)·π·r² = (1/5)·π·100 = 20π ≈ 62,83 cm²

Aufgabe 32 Sinusgleichung

Löse auf [0,2π]: 2·sin(x)=√3.

Lösung anzeigen

sin(x) = √3/2 ⇒ Lösungen x = π/3, 2π/3

Aufgabe 33 Binomialverteilung – Einzelwahrscheinlichkeit

n=10, p=0,3. P(X=4)?

Lösung anzeigen

Formel: P(X=k)=C(n,k)·p^k·(1−p)^{n−k}
C(10,4)=210
P = 210 · 0,3⁴ · 0,7⁶ ≈ 0,200

Aufgabe 34 Binomialverteilung – Mindestens

n=8, p=0,6. P(X≥6)?

Lösung anzeigen

P = P(6)+P(7)+P(8)
C(8,6)=28; C(8,7)=8; C(8,8)=1
P ≈ 28·0,6⁶·0,4² + 8·0,6⁷·0,4 + 1·0,6⁸ ≈ 0,594

Aufgabe 35 Erwartungswert & Varianz

Bei Bin(n,p) bestimme E(X) und Var(X).

Lösung anzeigen

E(X)=n·p
Var(X)=n·p·(1−p)

Aufgabe 36 Kombinatorik – mit/ohne Wiederholung

Wie viele 5-stellige Codes (0–9) mit Wiederholung? Wie viele ohne Wiederholung?

Lösung anzeigen

Mit Wiederholung: 10⁵ = 100 000
Ohne Wiederholung: 10·9·8·7·6 = 30 240

Aufgabe 37 Statistik – Standardabweichung

Werte: 2, 4, 4, 6, 10. Berechne Mittelwert und σ.

Lösung anzeigen

Mittelwert μ = (2+4+4+6+10)/5 = 26/5 = 5,2
Abweichungen: −3,2; −1,2; −1,2; 0,8; 4,8
Quadrate: 10,24; 1,44; 1,44; 0,64; 23,04 ⇒ Summe 36,8
Varianz (Population): 36,8/5 = 7,36 ⇒ σ ≈ 2,713

Aufgabe 38 Lineares Gleichungssystem 3×3 (Additionsverfahren)

Löse: { x+y+z=6; 2x−y+3z=14; −x+2y−z=−2 }.

Lösung anzeigen

Addiere I+III: (x−x)+(y+2y)+(z−z)=6+(−2) ⇒ 3y=4 ⇒ y=4/3
Setze y in I: x + 4/3 + z = 6 ⇒ x+z = 14/3
Setze in II: 2x − 4/3 + 3z = 14 ⇒ 2x+3z = 14 + 4/3 = 46/3
Multipliziere (x+z=14/3) mit 2: 2x + 2z = 28/3
Subtrahiere von (2x+3z=46/3): z = 18/3 = 6
Dann x = 14/3 − 6 = (14−18)/3 = −4/3
Lösung: (x, y, z) = (−4/3, 4/3, 6)

Aufgabe 39 Bruchgleichung

Löse: (x/2) + (3/(x)) = 4 (x ≠ 0).

Lösung anzeigen

Multipliziere mit 2x: x² + 6 = 8x
Umstellen: x² − 8x + 6 = 0
pq-Formel: x = 4 ± √(16 − 6) = 4 ± √10

Aufgabe 40 Wurzelgleichung

Löse: √(x+1) = x − 1.

Lösung anzeigen

Beide Seiten quadrieren: x+1 = x² − 2x + 1
Alles auf eine Seite: x² − 3x = 0 ⇒ x(x−3)=0 ⇒ x=0 oder x=3
Probe: x=0 ⇒ √1 = −1 (falsch), x=3 ⇒ √4 = 2 (richtig)
Lösung: x=3

Aufgabe 41 Potenzgleichung gemischt

Löse: 5·3^x = 2·9^x.

Lösung anzeigen

Schreibe 9^x = (3²)^x = 3^{2x}
Gleichung: 5·3^x = 2·3^{2x} ⇒ teile durch 3^x: 5 = 2·3^x
3^x = 5/2 ⇒ x = log_3(2,5) ≈ ln(2,5)/ln(3) ≈ 0,834

Aufgabe 42 Anwendung – Mischung

Wie viel Liter 30 %-Lösung muss man zu 10 l 10 %-Lösung geben, um 20 % zu erhalten?

Lösung anzeigen

Mengen: x Liter von 30 % ⇒ reiner Stoff: 0,3x; vorhanden: 10·0,1=1
Gesamtmenge: 10 + x; Ziel: 20 % ⇒ 0,2(10+x) = 1 + 0,3x
2 + 0,2x = 1 + 0,3x ⇒ 1 = 0,1x ⇒ x = 10 l

Aufgabe 43 Textaufgabe – Optimierung (Quadratisch)

Ein Zaun soll ein Rechteck an einer Mauer (eine Seite frei) mit 40 m Zaunfläche einfassen. Maximale Fläche?

Lösung anzeigen

Drei Seiten: 2x + y = 40 ⇒ y = 40 − 2x
Fläche A = x·y = x(40 − 2x) = −2x² + 40x
Maximum bei Scheitel: x = −b/(2a) = −40/(2·−2) = 10
y=40−2·10=20 ⇒ A_max=10·20=200 m²